精讲《从一到无穷大》-19四维立方体和四维球
我们之前好几次提到了四维空间，那么四维空间到底是什么样子的呢？这回我想带着大家一起来了解一下，作为三维空间的生物，我们该如何理解四维空间。
人类有很强大的想象力，我们可以想象出不存在的物体，比如说一个会喷火的巨龙，或者从来没有人见过的外星人。可是我们想象四维空间却是一件非常困难的事情。这是因为我们的生活是三维空间，就好像二维平面上的生物也没有办法想象出三维物体一样。除非我们能把三维物体压缩进一个二维平面，这样的方法叫做投影法。比如说马就是一个三维空间的生物，如果我们让它处于光下，它身后的墙上就会出现影子，影子就是一个二维图形。这样一来二维平面上的生物就可以通过了解这个影子来想象马的样子。当然如果我们让光线从不同的方向照射这匹马，或者使用一个点光源，比如一盏灯来照射这匹马，那么马的影子也会有所不同。所以三维物体在二维空间中的投影并不是唯一的，而且在进行投影的时候，平面上的每一个点其实都对应了这匹马身上的一条线。
现在我们来看一个几何图形立方体，立方体有八个顶点，十二条棱、六个面，我们该如何把它投影到一个平面上呢？第一种方法是啊我们可以用平行光来照射这个立方体，让它的每条棱和每个顶点的影子都落在平面上当我们用不同方向的光照射的时候，这个二维平面上的图形就会发生变化。有时候看起来是一个正方形，有时候看起来是两个连在一起的长方形，也有的时候看起来好像三个相交的平行四边形，这样的方法叫做正交投影法。我们还有一种方法，让这个光从一个点发出来，照射到这个立方体上。这样一来，你就会发现平面上会出现一大一小两个正方形，这两个正方形对应的顶点相连，这种方法叫做透视投影法。从透视投影图上看，二维平面的生物很容易数出三维立方体的顶点有八个棱，有12条。
除了这两种方法以外，我们还有一种方法求极投影，它可以把一个球面上的物体投影到平面上。大家知道地球就是一个球体，但是我们通常看到的地图却是平面地图。要知道球面是不可能展开成一个平面的，那么我们是如何画出平面地图的呢？方法之一就是球集投影。具体来说，我们可以把地球放在一张纸上，从北极点引出一条直线和地球相交。这样一来就把地球上的点对应到平面上的点了。用这种方法画出南极附近的地图会比较准确……
